题目

题型：0112 模拟题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA=k·AB，若平面EBD与平面BDC的夹角大于45°，求k的取值范围．

答案

（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而AB⊥BF，
又PA⊥底面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD，
因为AB⊥AD，
故AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，
在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，
所以AB⊥EF，由此得AB⊥平面BEF。 　　　
（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，
设AB的长为1，则
设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，
则，∴
取y=1，可得，
设二面角E-BD-C的大小为θ，
则，
化简，得，则。