题目

题型：0125 模拟题难度：来源：

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=3，AB=2，D是A₁B₁的中点，E在线段CC₁上且C₁E=2，
（Ⅰ）证明：DC⊥面ABE；
（Ⅱ）求二面角D-AE-B的大小．

答案

（Ⅰ）证明：已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，取AC中点O、A₁C₁中点F，
连OF、OB，则OB、OC、OF两两垂直，
以OB、OC、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
∵AB=2，AA₁=3，C₁E=2，
∴，，
∴，
∴，
于是，有DC⊥AB、DC⊥AE，
又因AB与AE相交，故DC⊥面ABE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是面ABE的一个法向量，，
设是面ADE的一个法向量，
则，①
，②
取z=2，联立①、②解得，则，
因为二面角D-AE-B是锐二面角，记其大小为θ，
则，
所以，二面角D-AE-B的大小。