题目

题型：同步题难度：来源：

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
(1)求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
(2)若二面角C₁-BD-C的大小为60°，求异面直线BC₁与AC所成角的大小．

答案

解：建立空间直角坐标系D-xyz，如图，
(1)设AD=a，DD₁=b，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，
B(a，a，0)，C(0，a，0)，C₁(0，a，b)，
∵=(-a，-a，0)，=(-a，a，0)，=(0，0，b)，
∴，，
∴BD⊥AC，BD⊥CC₁，
∵AC，CC₁平面ACC₁A₁且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁。
(2)设BD与AC相交于O，则点O坐标为，
，
∵，
∴BD⊥C₁O，
又BD⊥CO，
∴∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，
∴∠C₁OC=60°，
∵，
∴，

∴cos==，
∴异面直线BC₁与AC所成角的大小为arccos。