题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1。
（1）证明PA⊥平面ABCD；
（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论。

答案

解：（1）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a，
在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²，知PA⊥AB
同理，PA⊥AD，
所以PA⊥平面ABCD。（2）作EG//PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD
作GH⊥AC于H，连结EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角
又PE：ED=2：1，
所以
从而，。（3）当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，
取PE的中点M，连结FM，则FM//CE ①
由
知E是MD的中点
连结BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点
所以BM//OE ②
由①、②知，平面BFM//平面AEC
又BF平面BFM，
所以BF//平面AEC。