题目

题型：福建省高考真题难度：来源：

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点，
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。

答案

解：（Ⅰ）取AC的中点D，连结SD、DB，
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，
又SB平面SDB，
∴AC⊥SB；
（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC，
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM，
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角，
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，
∴SD⊥平面ABC，
又∵NE⊥平面ABC，
∴NE∥SD，
∵SN=NB，
∴NE=，且ED=EB，
在正△ABC中，由平面知识可求得，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=，
∴二面角N-CM-B的大小是arctan2。
 （Ⅲ）在Rt△NEF中，NF=，
∴S_△CMN=，S_△CMB=，
设点B到平面CMN的距离为h，
∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，
∴S_△CMN·h=S_△CMB·NE，
∴h=，
即点B到平面CMN的距离为。