题目

题型：0103 期末题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=1，AB=，BC=，AA₁=。
（I）求证：A₁B⊥B₁C；
（II）求二面角A₁-B₁C-B的大小。

答案

（Ⅰ）证明：由AC=1，AB=，BC=，知AC²+AB²=BC²，
所以AC⊥AB。
因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以面ABB₁A₁⊥面ABC，
所以AC⊥面ABB₁A₁。
由AA₁=AB=，知侧面ABB₁A₁是正方形，
连结AB₁，所以A₁B⊥AB₁，
由三垂线定理，得A₁B⊥B₁C。
（Ⅱ）解：作BD⊥B₁C，垂足为D，连结A₁D，
由（I）知，A₁B⊥B₁C，则B₁C⊥面A₁BD，
于是B₁C⊥A₁D，
则∠A₁DB为二面角 A₁-B₁C-B的平面角，
∵A₁B₁⊥A₁C₁，
∴A₁B₁⊥A₁C，
∵A₁B₁=BB₁=，A₁C=BC=，B₁C=，
∴Rt△A₁B₁C≌Rt△B₁BC，
∴A₁D=BD= ，
又A₁B=2，
∴，，
故二面角A₁-B₁C-B的大小为。