题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，已知PA⊥边长为2的正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点。
（1）证明：平面DNB⊥平面ABCD；
（2）证明：MN⊥CD；
（3）若直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD。

答案

解：（1）如图，连接AC交BD于O，连接NO，
∵N，O分别为PC，AC的中点，
∴NO∥PA
∵PA⊥平面ABCD，
∴NO⊥平面ABCD，又NO平面DNB，
∴平面DNB⊥平面ABCD。
（2）如图，连接MO，由（1）知NO⊥平面ABCD
∴NO⊥AB，
又易证MO⊥AB，NO∩MO=O，
∴AB⊥平面OMN
∴MN⊥AB，而CD∥AB
∴MN⊥CD。

（3）∵直线P与平面ABCD所成的角为45°，且PA⊥平面ABCD
∴∠PBA= 45°，△PAB为等腰直角三角形，
∴PA=AB=AD=2
连接PM，CM，易证△PAM≌△CBM，得PM=CM，
∵N为PC中点，
∴MN⊥PC
又MN⊥CD，PC∩CD=C
∴MN⊥平面PCD。