题目

题型：天津高考真题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2．
(Ⅰ)证明PA∥平面BDE；
(Ⅱ)证明AC⊥平面PBD；
(Ⅲ)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．

答案

(Ⅰ)证明：设AC∩BD=H，连结EH，
在△ADC中，因为AD= CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点，
又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA，
又EH平面BDE且PA平面BDE，
所以PA∥平面BDE．
(Ⅱ)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
所以PD⊥AC，
由(Ⅰ)可得，DB⊥AC，
又PD∩DB =D，故AC⊥平面PBD．
(Ⅲ)由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，
所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角，
由 AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，
可得，
在Rt△BHC中，，
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。