题目

题型：四川省模拟题难度：来源：

把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后，连接BD，得到如图所示的几何体，已知点D、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点，
(1)求证：AB∥平面EOF；
(2)求二面角E-OF-B的大小．

答案

(1)证明：∵点O、F分别为线段AC、BC的中点，
∴OF∥AB，
∵OF平面EOF，AB平面EOF，
∴AB∥平面EOF。(2)解：∵二面角D-AC-B为直二面角，连接OD，
∵AD=DC，∴OD⊥AC，
∵平面ADC⊥平面ABC，
∴OD⊥平面ABC，
又AB=BC，
∴OB⊥AC， 于是可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
由题可设OA=OB=OC=OD=2a，
∵点E、F分别为线段AD、BC的中点，
∴A(0，-2a，0)，B(2a，0，0)，C(0，2a，0)，D(0，0，2a)，
E(0，-a，a)，F(a，a，0)，
∴，
设平面EOF的一个法向量为n₁=(x，y，z)，
由得，
取x=-1，则，
∴n₁=(-1，1，1)，
设平面OBF的一个法向量为n₂=(0，0，1)，
，
∴二面角E-OF-B的大小为。