题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-A的大小；
（3）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值。

答案

解：（1）设AB₁与A₁B相交于点P，连接PD，则P为AB₁中点，
∵D为AC中点，
∴PD∥B₁C，
又∵PD平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）∵正三棱住ABC-A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥底面ABC，
又∵BD⊥AC，
∴A₁D⊥BD，
∴∠A₁DA就是二面角A₁-BD-A的平面角，
∵AA₁=，AD=AC=1，
∴tan∠A₁DA=，
∴∠A₁DA=，即二面角A₁-BD-A的大小是；
（3）由（2）作AM⊥A₁D，M为垂足，
∵BD⊥AC，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∵AM平面A₁ACC₁，
∴BD⊥AM，
∵A₁D∩BD=D，
∴AM⊥平面A₁DB，连接MP，
则∠APM就是直线A₁B与平面A₁BD所成的角，
∵AA₁=，AD=1，
∴在Rt△AA₁D中，∠A₁DA=，
∴AM=1×sin60°=，AP=AB₁=，
∴sin∠APM=，
∴直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值为。