题目

题型：江苏三模难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ACB=90°，M为A₁B与AB₁的交点，N为棱B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面AA₁C₁C；
（2）若AC=AA₁，求证：MN⊥平面A₁BC．

答案

 （1）连接AC₁，
∵矩形AA₁B₁B中，M为A₁B与AB₁的交点，
∴M是AB₁的中点，
又∵N为棱B₁C₁的中点，
∴△AB₁C₁中，MN是中位线，可得MN∥AC₁，…（4分）
又∵AC₁⊂平面AA₁C₁C，MN⊄平面AA₁C₁C，
∴MN∥平面AA₁C₁C．…（6分）
（2）∵矩形A₁C₁CA中，AC=AA₁，
∴四边形AA₁C₁C是正方形，可得AC₁⊥A₁C，
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，
∴CC₁⊥BC．
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴结合CC₁∩AC=C，得BC⊥平面AA₁C₁C，
∵AC₁⊆平面AA₁C₁C，∴BC⊥AC₁，…（8分）
∵BC、A₁C是平面A₁BC内的相交直线，
∴AC₁⊥平面A₁BC
又∵MN∥AC₁，∴MN⊥平面A₁BC．…（14分）