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题目
题型:揭阳二模难度:来源:
在图(1)所示的长方形ABCD中,AD=2AB=2,E、F分别为AD、BC的中点,M、N两点分别在AF和CE上运动,且AM=EN=a(0<a<


2
)
.把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C,如图(2)所示,其中θ∈(0,
π
2
]

魔方格

(1)当θ=45°时,求三棱柱BCF-ADE的体积;
(2)求证:不论θ怎么变化,直线MN总与平面BCF平行;
(3)当θ=900a=


2
2
.时,求异面直线MN与AC所成角的余弦值.
答案

魔方格
(1)依题意得EF⊥DE,EF⊥AE,∴EF⊥平面ADE,∠DEA=θ.
由θ=45°得,S△ADE=
1
2
DE•EAsin45°=


2
4

VBCF-ADE=S△ADE•EF=


2
4

(2)证法一:过点M作MM1⊥BF交BF于M1
过点N作NN1⊥CF交BF于N1,连接M1N1
∵MM1AB,NN1EF∴MM1NN1
又∵
MM1
AB
=
FM
FA
=
CN
CE
=
NN1
EF
,∴MM1=NN1
∴四边形MNN1M1为平行四边形,
∴MNN1M1,又MN⊄面BCF,N1M1⊂面BCF,∴MN面BCF.
证法二:过点M作MG⊥EF交EF于G,连接NG,则
CN
NE
=
FM
MA
=
FG
GE
,∴NGCF.
魔方格

又NG⊄面BCF,CF⊂面BCF,∴NG面BCF,
同理可证得MG面BCF,又MG∩NG=G,∴平面MNG平面BCF,
∵MN⊂平面MNG,∴MN面BCF.
(3)证法一:取CF的中点为Q,连接MQ、NQ,则MQAC,
∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角,
∵θ=900a=


2
2
.∴NQ=
1
2
MQ=


(
1
2
)
2
+(


2
2
)
2
=


3
2
MN=


2
2
,--
魔方格
--
cos∠NMQ=
QM2+MN2-NQ2
2MN•QM
=


6
3

即MN与AC所成角的余弦值为


6
3

证法二:∵θ=900a=


2
2

分别以FE、FB、FC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.A(1,1,0),C(0,0,1),M(
1
2
1
2
,0),N(
1
2
,0,
1
2
),得


AC
=(-1,-1,1),


MN
=(0,-
1
2
1
2
)

cos<


AC


MN
>=
1


3


2
2
=


6
3

所以与AC所成角的余弦值为


6
3
核心考点
试题【在图(1)所示的长方形ABCD中,AD=2AB=2,E、F分别为AD、BC的中点,M、N两点分别在AF和CE上运动,且AM=EN=a(0<a<2).把长方形AB】;主要考察你对柱锥台的表面积等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为PA的中点.
(Ⅰ)求证:PC平面EBD;
(Ⅱ)求三棱锥C-PAD的体积VC-PAD
(Ⅲ)在侧棱PC上是否存在一点M,满足PC⊥平面MBD,若存在,求PM的长;若不存在,说明理由.魔方格
题型:延庆县一模难度:| 查看答案
如图,正三棱锥O-ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.魔方格
题型:上海难度:| 查看答案
正四棱锥S-ABCD内接于一个半径为R的球,那么这个正四棱锥体积的最大值为______.
题型:武汉模拟难度:| 查看答案
△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,M是AB的中点.将△ACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2


2
,此时三棱锥A-BCM的体积等于______.
题型:不详难度:| 查看答案
顶点为P的圆锥的轴截面积是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,O为底面圆的圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长是(  )
A.


5
3
B.
2


5
3
C.


6
3
D.
2


6
3
题型:不详难度:| 查看答案
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