题目

题型：揭阳二模难度：来源：

在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a(0＜a＜

2

)．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中θ∈(0，

π

2

]


（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90⁰且a=

2

2

．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

答案

（1）依题意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．
由θ=45°得，S△ADE=

1

2

DE•EAsin45°=

2

4

，
∴VBCF-ADE=S△ADE•EF=

2

4

．
（2）证法一：过点M作MM₁⊥BF交BF于M₁，
过点N作NN₁⊥CF交BF于N₁，连接M₁N₁，
∵MM₁∥AB，NN₁∥EF∴MM₁∥NN₁
又∵

MM1

AB

=

FM

FA

=

CN

CE

=

NN1

EF

，∴MM₁=NN₁
∴四边形MNN₁M₁为平行四边形，
∴MN∥N₁M₁，又MN⊄面BCF，N₁M₁⊂面BCF，∴MN∥面BCF．
证法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连接NG，则

CN

NE

=

FM

MA

=

FG

GE

，∴NG∥CF．


又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，
同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，
∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．
（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，
∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，
∵θ=90⁰且a=

2

2

．∴NQ=

1

2

，MQ=

( 1 2 )2+( 2 2 )2

=

3

2

∴MN=

2

2

，--

--
∴cos∠NMQ=

QM2+MN2-NQ2

2MN•QM

=

6

3

．
即MN与AC所成角的余弦值为

6

3

．
证法二：∵θ=90⁰且a=

2

2

．
分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．A(1，1，0)，C(0，0，1)，M(

1

2

，

1

2

，0)，N(

1

2

，0，

1

2

)，得

AC

=(-1，-1，1)，

MN

=(0，-

1

2

，

1

2

)，
∴cos＜

AC

，

MN

＞=

1

3 • 2 2

=

6

3

，
所以与AC所成角的余弦值为

6

3

．