题目

题型：不详难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，其中AB=

2

2

，DC=

2

，AD=1，AD⊥AB，顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上，F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDB；
（Ⅲ）若PA=PC=1，求三棱锥P-DBF的体积．

答案

（Ⅰ）证明：取PD中点E，连结EA、EF，
∵E、F分别是PD、PC的中点，

∴EF∥DC，又DC∥AB，且EF=

1

2

DC=AB，
∴EF∥AB，且EF=AB
∴四边形EFBA是平行四边形，∴AE∥BF，
又∵AE⊂面PAD，BF⊄面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（II）证明：顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上，设为H，则PH⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，∴PH⊥BD，
∵Rt△ABD中，

AB

AD

=

2

2

，Rt△DAC中，

AD

DC

=

1

2

=

2

2

，
∴Rt△ABD∽Rt△DAC，
∴∠DAC=∠ABD，故∠ABD+∠CAB=90°即AC⊥BD，
又∵PH∩AC=H，PH、AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；
（ III）∵PA=PC=1，
∴顶点P在底面ABCD的射影H落在线段AC的中点上，且，AC=

1+2

=

3

，
∴S_△BCD=S_△ACD=

1

2

×1×

2

，AH=

1-( 3 2 )2

=

1

2

，
∵F分别是PC的中点，∵F到面PDB的距离是C到面PDB的距离的

1

2

，
VP-DBF=

1

2

VC-PDB=

1

2

VP-DBC=

1

2

×

1

3

×(

1

2

×

2

×1)×

1

2

=

2

24

．