题目

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC₁的交点为N，
求：（Ⅰ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（Ⅱ）PC和NC的长；
（Ⅲ）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。

答案

解：（Ⅰ）正三棱柱的侧面展开图
是一个长为9，宽为4的矩形，
其对角线长为； （Ⅱ）如图1，将侧面绕棱CC₁旋转120°
使其与侧成在同一平面上，
点P运动到点P₁的位置，连接MP₁，
则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短路线，
设PC=x，则，
在中，
由勾股定理得，求得x=2，
∴，
，
∴。
               图1（Ⅲ）如图2，连结PP₁，
则PP₁就是平面NMP与平面ABC的交线，作于H，
又CC₁⊥平面ABC，连结CH，
由三垂线定理得，，
∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），
在中，
，
∴，
在中，，
故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为。
                图2