题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分）如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。（1）求证：AB平面PCB；（2）求二面角C—PA—B的大小．

答案

(Ⅰ)略   (Ⅱ)  arcsin 

解析

（1）∵PC平面ABC，平面ABC，
∴PCAB ∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB又，
∴AB平面PCB．…6分
（2）解法一：取AP的中点E，连结CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．
∵CD平面PAB，
由三垂线定理的逆定理，得DE PA．
∴为二面角C-PA-B的平面角．
由(I) AB平面PCB，又∵AB⊥BC，又AB=BC，AC=2，可求得BC=．
　　在中，PB=，
．
在中， sin∠CED=．
∴二面角C—PA—B的大小为arcsin．…………14分
（2）解法二：
∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l//PA，则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）
设平面PAB的法向量为
则  即
解得  
令=" -1, " 得= (，0，-1)
设平面PAC的法向量为=()．
，，
则  即
解得  令="1, " 得= (1，1，0)．
=
∴二面角C—PA—B的大小为arccos