题目

题型：不详难度：来源：

如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求点到平面的距离；
（Ⅲ）求二面角的大小．

答案

（Ⅰ）证明略；
（Ⅱ）点到平面的距离为；
（Ⅲ）二面角的大小是.

解析

（Ⅰ）证明：连结、、、，
∵、分别是棱、的中点，由全等的正方形中对应的线段长度相等可得＝＝＝，∴四边形是菱形，∴．　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）解：在面上的射影是，，∴．
∵、分别是棱、的中点，∴∥，∴．
由（Ⅰ）有，与是平面内两相交直线，∴平面．
设，则，即点到平面的距离等于．
（Ⅲ）解：取的中点，连结、，由全等的正方形中对应的线段长度相等可得＝，∴，由（Ⅱ）有平面，∴是二面角的平面角．　　　　　　　　　　　　　　   
在中，，，
∴．　　　　　　　　　　　
在中，，，∴．
∴　二面角的大小是．