题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，。

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角的大小。

答案

（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）为线段AE的中点，证明见解析。
（Ⅲ）arctan

解析

本小题主要考查平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考查应用向量知识解决数学问题的能力。
解法一：

（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，
平面平面，
所以⊥平面
所以⊥。
因为为等腰直角三角形，，
所以
又因为，
所以，
即⊥，
所以⊥平面。………………………………4分
（Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面
取BE的中点N，连接AN，MN，则MN∥＝∥＝PC
所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN
因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
所以PM∥平面BCE………………………………8分
（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD
作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD
作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH
因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角
因为FA="FE," ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=。
FG=AF·sinFAG=
在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
GH=BG·sinGBH=·=
在Rt△FGH中，tanFHG= =
故二面角F-BD-A的大小为arctan……………………………12分
解法二:

（Ⅰ）因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,
E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因为FA="FE," ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°.
从而，.
所以,,.
,.
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因为BE平面BCE,BC∩BE="B" ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）.
从而=（，）.
于是
所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，
故PM∥平面BCE………………………………8分
(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）
=(1，1，0)，
    即
去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）
取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1）

故二面角F-BD-A的大小为……………………………………12分