题目
题型:不详难度:来源:
四边形,DC平面ABC ,,已知AE与平面ABC所成的角为,
且.
(1)证明:平面ACD平面;
(2)记,表示三棱锥A-CBE的体积,求的表达式;
(3)当取得最大值时,求二面角D-AB-C的大小.
答案
二面角D-AB-C为60°
解析
∵DC平面ABC ,平面ABC ∴. ----------2分
∵AB是圆O的直径 ∴且
∴平面ADC.
∵DE//BC ∴平面ADC ---------------------------------------3分
又∵平面ADE ∴平面ACD平面----------------4分
(2)∵DC平面ABC ∴平面ABC
∴为AE与平面ABC所成的角,即=-------------------5分
在Rt△ABE中,由,得------------6分
在Rt△ABC中∵()
∴------------------------------------7分
∴()-------8分
(3)由(2)知
要取得最大值,当且仅当取得最大值,
∵---------------------------------------------------------9分
当且仅当,即时,“=”成立,
∴当取得最大值时,这时△ACB为等腰直角三角形----------------10分
解法1:连结CO,DO
∵AC=BC,DC=DC
∴≌ ∴AD="DB "
又∵O为AB的中点 ∴
∴为二面角D-AB-C的平面角------------12分
在中 ∵,
∴, ∴=
即当取得最大值时,二面角D-AB-C为60°.--------------------------------14分
解法2:以点O为坐标原定,OB为x轴建立空间直角坐标系如图示:
则B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,1,),
∴,
平面ABC的法向量,---------------------11分
设平面ABD的法向量为
由得
令,则 ∴-------------12分
设二面角D-AB-C的大小为,则
∴,即二面角D-AB-C的大小为60°.------------------------------------14分
核心考点
试题【如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC平面ABC ,,已知AE与平面ABC所成的角为,且.(1)证明:平面ACD平面;(2】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,DC⊥平面ABC,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE、AB的中点。
(I)证明:PQ//平面ACD;
(II)求异面直线AE与BC所成角的余弦值;
(III)求平面ACD与平面ABE所成锐二面角的大小。
(1)求四棱锥的体积;
(2)证明:平面;
(3)侧棱上是否存在点,使得平面?并证明你的结论.
A.线段 B、线段 C、线段和一点 D、线段和一点C。
A. 5π B.17π C.20π D.68π
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