题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．
（I）求证：EF平面PAD；
（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

答案

（I）证明略；
（II）

解析

方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，
∴平面PAD，                                           …………（4分）
∵E、F为PA、PB的中点，
∴EF//AB，∴EF平面PAD；                                  …………（6分）
（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，
∵，则PO 平面ABCD．
取AO中点M，连OG，,EO,EM,
∵EF //AB//OG,
∴OG即为面EFG与面ABCD的交线…………（8分）
又EM//OP,则EM平面ABCD．且OGAO,
故OGEO ∴ 即为所求      …………（11分）
 ，EM＝ＯＭ＝１ 
∴tan＝故 ＝              
∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是  …………（14分）

方法2：（I）证明：过P作P O　AD于O，∵，
则PO 平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，………（2分）
∵PA＝PD　，∴，
得，
， 　　　　 …………（4分）
故，
∵，
∴EF　平面PAD；                        …………（6分）
（II）解：，
设平面EFG的一个法向量为 
则， ，   …………（11分）
平面ABCD的一个法向量为……（12分）
平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：
，锐二面角的大小是；             …………（14分）