题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°．BC=CC₁=a，AC=2a．
（I）求证：AB₁⊥BC₁；
（II）求二面角B—AB₁—C的大小；
（III）求点A₁到平面AB₁C的距离．
  

答案

（1）略
（2）
（3）

解析

（1）证明：∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴CC₁⊥平面ABC， ∴AC⊥CC₁．
∵AC⊥BC， ∴AC⊥平面B₁BCC_1．
∴B₁C是AB₁在平面B₁BCC₁上的射影．
∵BC=CC₁， ∴四边形B₁BCC₁是正方形，
∴BC₁⊥B₁C． 根据三垂线定理得，
AB₁⊥BC₁．………………5分
（2）解：设BC₁∩B₁C=O，作OP⊥AB₁于点P，
连结BP．∵BO⊥AC，且BO⊥B₁ C，
∴BO⊥平面AB₁C．
∴OP是BP在平面AB₁C上的射影．
根据三垂线定理得，AB₁⊥BP．
∴∠OPB是二面角B—AB₁—C的平面角．…………8分
∵△OPB₁~△ACB₁， ∴ ∴
在Rt△POB中，，
∴二面角B—AB₁—C的大小为…………10分
（3）解：[解法1] ∵A₁C₁//AC，A₁C₁平面AB₁C，
∴A₁C₁//平面AB₁C．
∴点A₁到平面AB₁C的距离与点C₁到平面AB₁C．的距离相等．
∵BC₁⊥平面AB₁C， 
∴线段C₁O的长度为点A₁到平面AB₁C的距离．
∴点A₁到平面AB₁C的距离为…………14分
[解法2]连结A₁C，有，设点A₁到平面AB₁C的距离为h．
∵B₁C₁⊥平面ACC₁A₁， ∴，
又，
∴  ∴点A₁到平面AB₁C的距离为…………14分