题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分14分)
如图, 在四棱锥中，顶点在底面上的射影恰好落在的中点上，又∠，，且
=1:2:2.

(1) 求证:  
(2) 若, 求直线与所成的角的余弦值;
(3) 若平面与平面所成的角为, 求的值

答案

（1）证明略
（2）
（3）

解析

因为中点为点在平面ABCD内的射影, 所以底面. 以为坐标原点, 所在直线为轴, 所在直线为轴, 建立空间直角坐标系
(如图).

（1）设, OP = h则依题意得:

--- 4分
.                      
∴= , = ,
于是·= , ∴
（2）由, 得h =" a," 于是,
--- 5分
∵= , = , ∴·= ,          
cos<,> = = , ∴ 直线与所成的角的余弦值为;
(3) 设平面的法向量为m, 可得m =" (0,1,0" ),
设平面的法向量为n = , 由= , = ,
∴ , 解得n =" (1," 2 ,), ∴ m•n =" 2" ,
cos< m, n > = , ∵ 二面角为, ∴= 4，
解得=，即=.                                   --- 5分
（以传统方法解答相应给分）