题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分）如图，正方形、的边长都是1，平面平面，点在上移动，点在上移动，若（）

（I）求的长；
（II）为何值时，的长最小；
（III）当的长最小时，求面与面所成锐二面角余弦值的大小.

答案

(1)
(2)
(3)

解析

解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，

即MNQP是平行四边形，∴  MN="PQ."
由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴  AC=BF=，

即 

                         ………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当
即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为 ………………9分
（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，
∵  AM=AN，BM=BN，G为MN的中点
∴  AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角A-MN-B的平面角，
又AG=BG=，所以，由余弦定理有             
∴ 所求余弦值为               …14分