题目
题型:不详难度:来源:
已知四棱锥中,平面,底面是直角梯形,为的重心,为的中点,在上,且;
(1)求证:;
(2)当二面角的正切值为多少时,
平面;
(3)在(2)的条件下,求直线与平面所成角
的正弦值;
答案
(1)略
(2) 当二面角P-CD-A的正切值为2时,FG⊥平面AEC
(3)
解析
∵G是△PAC的重心 ∴CG:GH="2:1 "
∵CF:FB="2:1 " ∴CG:GH=CF:FB ∴FG∥BH
∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AC ∴AC⊥平面PAB
∴ AC⊥BH ∵FG∥BH ∴FG⊥AC ------------4分
(2)如图所示,以A为坐标原点建立空间直角坐标系
∵AB=AC=2且AB⊥AC ∴∠ACB=45° 在直角梯形ABCD中
∵∠BCD=90° ∴∠ACD=45°∵AC="2 " ∴AD=CD=
∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥CD ∵CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD ∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角
∴A(0,0,0) C(,,0) D(0,,0) B(,,0)
设P(0,0,) ∴H(0,0,) E(,,)
∵FG⊥平面AEC ∴FG⊥AE∵FG∥BH ∴BH⊥AE
∴=(,,) =(,,)
∴ ∴ ∴PA=
∴∠PDA="2 " ∴当二面角P-CD-A的正切值为2时,FG⊥平面AEC ------8分
(3)∵BH∥FG ∴FG与平面PBC所成的角等于BH与平面PBC所成的角
∵=(,,) =(0,,0) =(,,)
设平面PBC的法向量=(x,y,z) ∴ ∴ 令z="1 " ∴=(2,0,1)
∴ 设直线FG与平面PBC所成的角为
∴ ∴直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为 --12分
核心考点
试题【(12分)已知四棱锥中,平面,底面是直角梯形,为的重心,为的中点,在上,且;(1)求证:;(2)当二面角的正切值为多少时,平面;(3)在(2)的条件下,求直线与】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
A AC⊥BD B AC∥截面PQMN C AC=BD D PM与BD所成角为450
A 3 B 6 C 9 D 18
PA⊥底面ABCD,PA=
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB
(2)求二面角A—BE—P的大小。
ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,
BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.
(Ⅰ)证明:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)求四棱锥E-ABCD的体积V;
(Ⅲ)求二面角E-AD-C的大小.
A.4 | B.3 | C.2 | D.1 |
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