题目
题型:不详难度:来源:
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,∠BCD=60°,点E是BC边的中点,AC与DE交于点O,PO⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证:PD⊥BC;
(Ⅱ)若AB=6,PC=6,求二面角P-AD-C的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求异面直线PB与DE所成角的余弦值.
答案
∵点E是BC边的中点
∴DE⊥BC.
∵PO⊥平面ABCD,
∴OD是斜线PD在底面ABCD内的射影.
∴PD⊥BC. (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥BC,
菱形ABCD中,AD∥BC,
∴DE⊥AD.
又∵PO⊥平面ABCD,DE是PD在平面ABCD的射影,
∴PD⊥AD.
∴∠PDO为二面角P-AD-C的平面角.
在菱形ABCD中,AD⊥DE,由(1)知,△BCD为等边三角形,
∵点E是BC边的中点,AC与BD互相平分,
∴点O是△BCD重心.
∵AB=6,
又∵在等边△BDC中,
DO=DE=·BC=×6=6.
∴OC=OD=6.
∵PC=6,∴PO=6.
∴在Rt△POD中,tan∠PDO===1.
∴∠PDO=.
∴二面角P-AD-C的大小为. (9分)
(Ⅲ)取AD中点H,连接HB,HP.
则HB∥DE.
∴HB与PB所成角即是DE与PB所成角.
连接OH,OB.
∵PO⊥平面ABCD,OH,OB⊂平面ABCD,
∴PO⊥OH,PO⊥OB.
在Rt△DOH中,HD=3,OD=6,
∴OH=3.
在Rt△PHO中,PH==.
在Rt△POB中,OB=OC=6,PB==6.
由(Ⅱ)可知DE=HB=9.
设HB与PB所成角为α,
则cosα==.
∴异面直线PB、DE所成角的余弦值为. (13分)
解法二:(Ⅰ)同解法一; (4分)
(Ⅱ)过点O作AD平行线交AB于F,以点O为坐标原点,建立如图的坐标系.
∴A(6,-6,0),B(3,3,0),C(-3,3,0),
D(0,-6,0),P(0,0,6).
∴=(-6,0,0),=(0,-6,-6).
设平面PAD的一个法向量为s=(a,m,n).
则
即
∴
不妨取s=(0,-1,1).
∵=(0,0,6)是平面ADC的一个法向量,
∴cos〈s,〉==.
∴二面角P-AD-C的大小为. (9分)
(Ⅲ)由已知,可得点E(0,3,0).
∴=(3,3,-6),=(0,9,0).
∴cos〈,〉==.
即异面直线PB、DE所成角的余弦值为.
解析
核心考点
试题【(本小题满分13分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,∠BCD=60°,点E是BC边的中点,AC与DE交于点O,PO⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证:PD⊥B】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:平面;
(2)求证:;
(3)若内的点满足∥平面,设点构成集合,试描述点集的位置(不必说明理由)
A.相交 | B.异面 | C.平行 | D.异面或相交 |
那么MA与BD的位置关系是
A.垂直相交 | B.相交但不垂直 |
C.异面但不垂直 | D.异面且垂直 |
是棱PC的中点,平面ABCD,AC、BD交于点O。
(1)求证:,求证:AM平面PBD;
(2)若二面角M—AB—D的余弦值等于,求PA的长
如图,为圆的直径,点、在圆上,,矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直.
(Ⅰ)求证:AD∥平面BCF;
(Ⅱ)求证:平面平面;
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