题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分） 如图，垂直平面，，，点在上，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若二面角的大小为，求的值．

答案

见解析

解析

解：（Ⅰ）过E点作EFAB与点F，连AF，于是EF//DC

所以EFABC，又BCABC，所以EFBC；
又，AC=1/2BC，所以 ，所以，
，所以
，所以与相似，所以，即AFBC；又AFEF=F，于是BCAEF，又AEAFE，
所以BCAE.                           ……6′
（2）解法一（空间向量法）
如右图，以F为原点，FA为x轴，FC为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则，于是，，

，设平面ABE的法向量为，，于是，令Z₁=1，得，得.
设平面ACE的法向量为,
，于是，令Z₂=1，得，得.
……8′
思路分析：第一问中利用线面垂直 的判定定理和性质定理求证即可。
第二问中，如右图，以F为原点，FA为x轴，FC为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则，于是，，建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量的夹角得到k的值。