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题目
题型:不详难度:来源:
如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,的中点,平面.

(Ⅰ)证明:平面平面
(Ⅱ)若,试求异面直线所成角的余弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角的余弦值.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
解析

试题分析:(Ⅰ)证明面面垂直问题转化为证明线面垂直问题,即某一个平面中的某条直线垂直于另一个平面.然后将线面垂直问题转化为线线垂直问题,即该直线与平面中的两条相交直线垂直.在本题中,我们选取的是平面中的直线,因为易知,那么只需要在平面再找一条直线垂直于即可.因为底面是平行四边形,且,,,的中点,所以可以证,从而得证;(Ⅱ)求异面直线所成角,一般将两条异面直线平移到一个公共点上以便求出其夹角.这里,我们选择将直线平移至点,所以需要取的中点,连接,易知即所求,将其放在求出余弦值.(Ⅲ)二面角的余弦值可以通过建立空间直角坐标系用向量来解决.其中前两问又可以用向量来解决.第一问的面面垂直可以用两个平面的法向量垂直来证明,即法向量的数量积为0,第二问用向量的夹角公式直接解出(需注意异面直线角的范围).二面角同样可以用两个半平面的法向量的夹角解决,不过这里要注意所求的二面角是锐角还是钝角,从而选择是法向量夹角还是其补角为所求.
试题解析:(Ⅰ)依题意,,
所以是正三角形,
 
所以,     2分
因为平面,平面,所以     3分
因为,所以平面     4分
因为平面,所以平面平面      5分
(Ⅱ)取的中点,连接,连接,则
所以是异面直线所成的角      7分
因为,,
所以,, 
所以     9分
解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立右手空间直角坐标系.



(Ⅰ)设平面的一个法向量为

,取,则,从而
同理可得平面的一个法向量为
直接计算知,所以平面平面.
(Ⅱ)由       
解得                                                        
, 
所以异面直线所成角的余弦值
 
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量为 
,设平面的法向量     11分
设二面角的平面角为,且为锐角
     13分
所以二面角的余弦值为     14分
核心考点
试题【如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点,平面.(Ⅰ)证明:平面平面;(Ⅱ)若,试求异面直线与所成角的余弦值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角的余弦值】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在多面体中,四边形是矩形,,平面.

(1)若点是中点,求证:.
(2)求证:.
(3)若.
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在三棱拄中,侧面,已知.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)试在棱(不包含端点)上确定一点的位置,使得
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求和平面所成角正弦值的大小.                                    
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已知直角梯形边上的中点(如图甲),,将沿折到的位置,使,点上,且(如图乙)

(Ⅰ)求证:平面ABCD.
(Ⅱ)求二面角E−AC−D的余弦值
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如图,在矩形中,,点在边上,点在边上,且,垂足为,若将沿折起,使点位于位置,连接得四棱锥

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若,直线与平面所成角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.
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如图,四棱锥的底面为正方形,底面分别是的中点.

(1)求证:平面
(2)求证:平面平面
(3)若,求与平面所成的角的大小.
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