题目

题型：不详难度：来源：

用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的正整数．
（1）共有多少个四位数？其中偶数有多少个？
（2）比4301大的四位数有多少个？
（3）能被3整除的四位数有多少个？
注：以上结果均用数字作答．

答案

（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，
∴先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C₅¹种结果，
余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有A₅³种结果，
根据分步计数原理知共有A¹₅•A³₅=300；
用0，1，2，3，4，5六个数字组成没有重复数字的四位偶数，则0不能排在首位，末位必须为0，2，4其中之一．
所以可分两类，末位为0，则其它位没限制，从剩下的5个数中任取3个，再进行排列即可，共有A₅³=60个
第二类，末位不排0，又需分步，第一步，从2或4中选一个来排末位，有C₂¹=2种选法，第二步排首位，首位不能排0，从剩下的4个数中选1个，有4种选法，第三步，排2，3位，没有限制，从剩下的4个数中任取2个，再进行排列即可，共有12种．
把三步相乘，共有2×4×12=96个
最后，两类相加，共有60+96=156个
（2）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，共有A₅³=60，
当前两位是45时，共有

A

24

=4×3=12个，
当前两位是43时，共有

A

24

=4×3=12个，去掉4301即可，即有12-1=11个．
根据分类加法原理得到共有：60+12+12-1=83个．
（3）0，3一组，1，5一组，2，4一组，1，2一组，45一组；
被3整除的数字包括两种情况，
一是包含0，3的，需要先从余下的非0数字中选一个做首位．
剩下的三个数字选一个放在第二位，共有4A₃¹A₃³=72种结果，
二是不含0，3的，共有A₄⁴=24种结果，
根据分类计数原理知共有72+24=96．