题目

题型：孝感模拟难度：来源：

设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量

m

=(sinA+sinC，sinB-sinA)，

n

=(sinA-sinC，sinB)，且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若向量

s

=(0，-1)，

t

=(cosA，2cos2

B

2

)，试求|

s

+

t

|的取值范围．

答案

（Ⅰ）由题意得

m

•

n

=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0
即sin²C=sin²A+sin²B-sinAsinB
由正弦定理得c²=a²+b²-ab
再由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

∵0＜C＜π，∴C=

π

3

（Ⅱ）∵

s

+

t

=(cosA，2cos2

B

2

-1)=(cosA，cosB)
∴|

s

+

t

|2=cos2A+cos2B=cos2A+cos2(

2π

3

-A)
=

1+cos2A

2

+

1+cos( 4π 3 -2A)

2

=

1

4

cos2A-

3

4

sin2A+1
=-

1

2

sin(2A-

π

6

)+1
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

∴-

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1
所以

1

2

≤|

s

+

t

|2＜

5

4

，故

2

2

≤|

s

+

t

|＜

5

2

．