题目
题型:广东省模拟题难度:来源:
(Ⅰ)求f(x)的解析表达式;
(Ⅱ)设t>0,曲线C:y=f(x)在点P(t,f(t))处的切线为l,l与坐标轴围成的三角形面积为S(t),求S(t)的最小值.
答案
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c,
由已知,得2ax+b=(a+1)x2+(2a+b)x+a+b+c,
∴,解得:a=-1,b=0,c=1,
∴f(x)=-x2+1。
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,P(t,1-t2),切线l的斜率k=f′(t)=-2t,
切线l的方程为y-(1-t2)=-2t(x-t),即y=2tx+t2+1,
从而l与x轴的交点为,l与y轴的交点为,
∴(其中t>0),
∴,
当时,S′(t)<0,S(t)是减函数;
当时,S′(t)>0,S(t)是增函数,
∴。
核心考点
试题【已知f(x)是二次函数,f′(x)是它的导函数,且对任意的x∈R,f′(x)=f(x+1)+x2恒成立. (Ⅰ)求f(x)的解析表达式; (Ⅱ)设t>0,曲线C】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
[ ]
B.11万件
C.9万件
D.7万件
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围。
(1)若xf"(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;
(2)证明:(x-1)f(x)≥0。
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