题目

题型：高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1。
 （1）若xf"（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
 （2）证明：（x-1）f（x）≥0。

答案

解：（1）
xf"（x）=xlnx+1，题设xf"（x）≤x²+ax+1等价于lnx-x≤a
令g（x）=lnx-x，则
当0＜x＜1时，g"（x）>0；当x≥1时，g"（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，g（x）≤g（1）=-1
综上，a的取值范围是[-1，+∞）；
（2）由（1）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1= xlnx+（lnx-x+1）≤0；
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）


所以（x-1）f（x）≥0。