题目

题型：江苏高考真题难度：来源：

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=20km，BC=10km。为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO。设排污管道的总长度为ykm。

（1）按下列要求建立函数关系：
（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示为θ的函数；
（ii）设PO=x（km），将y表示成x的函数。
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短。

答案

解：（1）（i）如图，延长PD交AB于点Q
由题设可知
AO=BO，PO=10-OQ
在Rt△AQO中，
所以
又易知
故y用θ表示的函数为。（ii）由题设可知，在Rt△AQO中

则
显然0≤x≤10，所以y用x表示的函数为
；
（2）选用（1）中的函数关系

来确定符合要求的污水处理厂的位置
因为
所以
由y"=0得
因故
当时，y"<0
当时，y">0，
所以函数y在时取得极小值，这个极小值就是函数y在上的最小值
当时，
因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B两点的距离均为km时，铺设的排污管道的总长度最短。