题目

题型：0108 模拟题难度：来源：

若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数，且f（x）_最小值=f（）=。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大值；
（3）设函数g（x）=，若不等式g（x）·g（2k-x）≥（-k）²在（0，2k）上恒成立，求实数k的取值范围。

答案

解：（1）函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数，则b=d=0，
∴f ′（x）=3ax²+c
则

故f（x）=-x³+x；（2）∵f ′（x）=-3x²+1=
∴f（x）在（-∞，-），（，+∞）上是增函数，
在[-，]上是减函数
由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如图所示，当-1＜m＜0时，f（x）_max=f（-1）=0；
当0≤m＜时，f（x）_max=f（m）=-m³+m，
当m≥时，f（x）_max=f（）=
故f（x）_max=。（3）g（x）=（-x），令y=2k-x，则x、y∈R⁺，且2k=x+y≥2，　　
又令t=xy，则0＜t≤k²，　　
故函数F（x）=g（x）·g（2k-x）=（-x）（-y）=+xy-
=+xy-=+t+2，t∈（0，k²] 　
当1-4k²≤0时，F（x）无最小值，不合题意
当1-4k²＞0时，F（x）在（0，]上递减，在[，+∞）上递增，　
且F（k²）=（-k）²，
∴要F（k²）≥（-k）²恒成立，　
必须，　
故实数k的取值范围是（0，]。