题目

题型：北京月考题难度：来源：

已知函数f（x）=x³﹣ax²﹣x+a，其中a为实数．
（1）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，3]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[3，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．

答案

解：（1）求导函数，可得f"（x）=3x²﹣2ax﹣1，
∴f"（﹣1）=3+2a﹣1=0
∴a=﹣1，
∴f（x）=x³+x²﹣x﹣1
∴f"（x）=3x²+2x﹣1
由f"（x）=0 可得 x=或x=﹣1
又∵
∴f（x）在[﹣2，3]上的最小值为﹣3，最大值为32；
（2）f"（x）=3x²﹣2ax﹣1，图象开口向上，且恒过点（0，﹣1）
由条件f（x）在（﹣∞，﹣2]和[3，+∞）上都是递增的，
可得：f"（﹣2）≥0，∴11+4a≥0，
∴
f"（3）≥0，
∴26﹣6a≥0，
∴a≤
∴a的取值范围是[﹣，]