题目
题型:山东省模拟题难度:来源:
(Ⅰ)若f(x)在区间[﹣1,1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1,求a、b的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(Ⅲ)设函数F(x)=(f′(x)+6x+1)e2x,试判断函数F(x)的极值点个数.
答案
∵x∈[﹣1,1],1<a<2,
∴当x∈[﹣1,0)时,f"(x)>0,f(x)递增;
当x∈(0,1]时,f"(x)<0,f(x)递减.
∴f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值为f(0)=b,
∴b=1.
又,,
∴f(﹣1)<f(1),即,得.
故,b=1为所求.
(Ⅱ)解:由(1)得f(x)=x3﹣2x2+1,f"(x)=3x2﹣4x,点P(2,1)在曲线f(x)上.
(1)当切点为P(2,1)时,切线l的斜率k=f"(x)|x=2=4,
∴l的方程为y﹣1=4(x﹣2),即4x﹣y﹣7=0.
(2)当切点P不是切点时,设切点为Q(x0,y0)(x0≠2),
切线l的斜率,
∴l的方程为y﹣y0=(3x02﹣4x0)(x﹣x0).
又点P(2,1)在l上,
∴1﹣y0=(3x02﹣4x0)(2﹣x0),
∴1﹣(x03﹣2x02+1)=(3x02﹣4x0)(2﹣x0),
∴x02(2﹣x0)=(3x02﹣4x0)(2﹣x0),
∴x02=3x02﹣4x0,即2x0(x0﹣2)=0,
∴x0=0.
∴切线l的方程为y=1.
故所求切线l的方程为4x﹣y﹣7=0或y=1.
(或者:由(1)知点A(0,1)为极大值点,所以曲线f(x)的点A处的切线为y=1,恰好经过点P(2,1),符合题意.)
(Ⅲ)解:F(x)=(3x2﹣3ax+6x+1)e2x=[3x2﹣3(a﹣2)x+1]e2x.
∴F"(x)=[6x﹣3(a﹣2)]e2x+2[3x2﹣3(a﹣2)x+1]e2x
=[6x2﹣6(a﹣3)x+8﹣3a]e2x.
二次函数y=6x2﹣6(a﹣3)x+8﹣3a的判别式为
△=36(a﹣3)2﹣24(8﹣3a)=12(3a2﹣12a+11)=12[3(a﹣2)2﹣1],
令△≤0,得:.
令△>0,得.
∵e2x>0,1<a<2,
∴当时,F"(x)≥0,函数F(x)为单调递增,极值点个数为0;
当时,此时方程F"(x)=0有两个不相等的实数根,
根据极值点的定义,可知函数F(x)有两个极值点.
核心考点
试题【已知函数f(x)的导数f′(x)=3x2﹣3ax,f(0)=b.a,b为实数,1<a<2.(Ⅰ)若f(x)在区间[﹣1,1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1,求】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当p=1时,f(x)≤ λx恒成立,求实数λ的取值范围.
(2)当p>0时,讨论函数f(x)的单调性.
求函数y=f(x),在上的最大值和最小值.
(1)求函数h(x)=f(x)﹣g(x)的最值;
(2)对于一切正数x,恒有f(x)≤k(x2﹣1)成立,求实数k的取值组成的集合.
(1)求a,b的值;
(2)存在使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的最小值.
最新试题
- 1下列中各组性质的比较,正确的是( )①酸性:HClO4>HBrO4>HIO4 ②离子还原性
- 2阅读下面的作品,完成文后各题。开在石头上的美丽心花 张丽钧 (1)一位懂玉的老师讲玉。 (2)制作了漂亮的电子幻灯片,边
- 3受自然环境的影响,北方地区和南方地区的人们,在生活方式、生活习惯方面也有很大的差异,正所谓“一方水土养一方人”。如:主食
- 4我市为了增强学生体质,开展了乒乓球比赛活动。部分同学进入了半决赛,赛制为单循环形式(即每两个选手之间都赛一场),半决赛共
- 5She is _____ than any other girl in her class. [ ]A.
- 6根据所给材料的内容,在下面划线处补写恰当的句子。要求内容贴切,语意连贯,逻辑严密,语句通顺。不得照抄材料,每句不超过20
- 7听下面一段材料, 回答第1至3题. 1. Why does the man hire some bikes?A.
- 8--Is that your dog?---No.That is Peter’s dog. The brown one
- 9下列图示实验操作中,正确的是( )A.胶头滴管取用少量液体药品B. 加热液体C. 稀释浓硫酸D.
- 10若M=-1-2-3-…-2007-2008,N=12-22+32-42+…+20072-20082,则M,N的大小关系是
热门考点
- 1虞荔,字山披,会稽馀姚人也。祖权,梁廷尉卿、永嘉太守。父检,平北始兴王谘议参军。荔幼聪敏,有志操。年九岁,随从伯阐候太常
- 2在1,3,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客等候1路或3路公共汽车,假定当时
- 3已知3x|n﹣1|+5=0为一元一次方程,则n=( )
- 4冬天,寒冷、干燥、混有灰尘和细菌的空气,通过鼻腔后会变得清洁、温暖、湿润.鼻腔中与上述变化无关的结构是( )A.鼻毛B
- 5近年来,我国农民工队伍不断壮大,目前已有1.5亿人,成为产业工人的重要组成部分。从农民工这个特殊群体选出代表,步入最高国
- 6某温度下,在密闭容器中SO2、O2、SO3三种气态物质建立化学平衡后,改变条件对反应2SO2(g)+O2(g) 2SO3
- 7如科所示,竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着质量都为2kg的物体A、B, 二者处于平衡状态,若突然将一个大小为10N的力
- 8100℃的水的分子平均动能______100℃的水蒸气的分子平均动能;100℃的水的内能______ 100℃相同质量的
- 9阅读以下材料:【材料一】 帝国主义和中国封建主义相结合,把中国变为半殖民地和殖民地的过程,也就是中国人民反抗帝国主义及其
- 10阅读理解。 You"re sitting on the train home and the person op