题目

题型：模拟题难度：来源：

某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）²万件．
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．

答案

解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：
L=（x﹣3﹣a）（12﹣x）²，x∈[9，11]．
（2）L′（x）=（12﹣x）²﹣2（x﹣3﹣a）（12﹣x） =（12﹣x）（18+2a﹣3x）．
令L"（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）．
∵3≤a≤5，∴8≤6+ a≤ ．
在x=6+ a两侧L′的值由正值变负值．
所以，当8≤6+ a≤9，即3≤a≤ 时，
L_max=L（9）=（9﹣3﹣a）（12﹣9）²=9（6﹣a）；
当9＜6+ a≤ ，即 ＜a≤5时，
 L_max=L（6+a）=（6+a﹣3﹣a）[12﹣（6+a）]²=4（3﹣a）³，

即当3≤a≤ 时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6﹣a）万元；
当 ＜a≤5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3﹣a）³万元．