题目
题型:月考题难度:来源:
(Ⅰ)当时,讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=x2﹣2bx+4.当时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b取值范围.
答案
令h(x)=ax2﹣x+1﹣a(x>0)
(1)当a=0时,h(x)=﹣x+1(x>0),
当x∈(0,1),h(x)>0,f"(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞),h(x)<0,f"(x)>0,函数f(x)单调递增.
(2)当a≠0时,由f"(x)=0,即ax2﹣x+1﹣a=0,解得.
当时x1=x2,h(x)≥0恒成立,此时f"(x)≤0,函数f(x)单调递减;
当时,,
x∈(0,1)时h(x)>0,f"(x)<0,函数f(x)单调递减;
时,h(x)<0,f"(x)>0,函数f(x)单调递增;
时,h(x)>0,f"(x)<0,函数f(x)单调递减.
当a<0时,当x∈(0,1),h(x)>0,f"(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞),h(x)<0,f"(x)>0,函数f(x)单调递增.
综上所述:当a≤0时,函数f(x)在(0,1)单调递减,(1,+∞)单调递增;
当时x1=x2,h(x)≥0恒成立,此时f"(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)单调递减;
当时,函数f(x)在(0,1)单调递减,单调递增,单调递减.
(Ⅱ)当时,f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,
所以对任意x1∈(0,2),有,
又已知存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),所以,x2∈[1,2],(※)
又g(x)=(x﹣b)2+4﹣b2,x∈[1,2]
当b<1时,g(x)min=g(1)=5﹣2b>0与(※)矛盾;
当b∈[1,2]时,g(x)min=g(1)=4﹣b2≥0也与(※)矛盾;
当b>2时,.
综上,实数b的取值范围是.
核心考点
试题【已知函数(a∈R).(Ⅰ)当时,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设g(x)=x2﹣2bx+4.当时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数f(x)的单调区间和最小值;
(2)若函数F(x)=在[1,e]上是最小值为,求a的值;
(3)当b>0时,求证:(其中e=2.718 28…是自然对数的底数).
(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求m的取值范围;
(Ⅱ)求函数f(x)在[1,e]的最大值和最小值.
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若存在实数k,使得关于x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
(Ⅰ)求证:函数f(x)在区间(﹣∞,0)上是增函数;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+f′(x)(x∈[0,1])在x=0处取得最大值,求a的取值范围.
(1)用a和n表示f(n);
(2)求对所有n都有成立的a的最小值;
(3)当0<a<1时,比较与的大小,并说明理由。
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