某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

答案

解：（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx²，
若记商品在一个星期的获利为f（x），
则依题意有f（x）=（30﹣x﹣9）（432+kx²）=（21﹣x）（432+kx²），
又由已知条件，24=k·2²，于是有k=6，
所以f（x）=﹣6x³+126x²﹣432x+9072，x∈[0，30]．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有
f"（x）=﹣18x²+252x﹣432=﹣18（x﹣2）（x﹣12）．

∴当x=12时，f（x）达到极大值．
因为f（0）=9072，f（12）=11264，
所以定价为30﹣12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．

核心考点

试题【某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3700x+45x²﹣10x³（单位：万元），成本函数C（x）=460x+5000（单位：万元）
（1）求利润函数P（x）；（提示：利润=产值﹣成本）
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

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已知f（x）=ax﹣ln（﹣x），x∈（﹣e，0），

，其中e是自然常数，
a∈R．
（1）讨论a=﹣1时，f（x）的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，

．
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

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已知a∈R，函数f（x）=x²|x﹣a|．
（1）当a=2时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

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如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的外面种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形的面积为S₂．
（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2）当a固定，θ变化时，求

取最小值时的角．

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已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，f′（1）=0，
曲线y=f（x）在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意实数α和β，不等式|f（2sinα）﹣f（2sinβ）|≤m恒成立，求m的最小值．

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