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题目
题型:河南模拟难度:来源:
已知函数f(x)=
lnx
x
-1

(1)试判断函数f(x)的单调性;
(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值;
(3)试证明:对∀n∈N*,不等式ln(
1+n
n
)e
1+n
n
答案
(1)函数f(x)的定义域是:(0,+∞)
由已知f(x)=
1-lnx
x2

令f′(x)=0得,1-lnx=0,∴x=e
∵当0<x<e时,f(x)=
1-lnx
x2
>0

当x>e时,f(x)=
1-lnx
x2
<0

∴函数f(x)在(0,e]上单调递增,在[e,+∞)上单调递减,

(2)由(1)知函数f(x)在(0,e]上单调递增,在[e,+∞)上单调递减
故①当0<2m≤e即0<m≤
e
2
时,f(x)在[m,2m]上单调递增
f(x)max=f(2m)=
ln(2m)
2m
-1

②当m≥e时,f(x)在[m,2m]上单调递减
f(x)max=f(m)=
lnm
m
-1

③当m<e<2m,即
e
2
<m<e

f(x)max=f(e)=
1
e
-1


(3)由(1)知,当x∈(0,+∞)时,f(x)max=f(e)=
1
e
-1

∴在(0,+∞)上恒有f(x)=
lnx
x
-1≤
1
e
-1

lnx
x
1
e
且当x=e时“=”成立,
∴对∀x∈(0,+∞)恒有lnx≤
1
e
x

1+n
n
>0,
1+n
n
≠e

ln
1+n
n
1
e
1+n
n
⇒ln(
1+n
n
)e
1+n
n

即对∀n∈N*,不等式ln(
1+n
n
)e
1+n
n
恒成立.
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnxx-1(1)试判断函数f(x)的单调性;(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值;(3)试证明:对∀n∈N*,不等式ln(1+】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数f(x)=x-lnx的最小值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x-1ex的定义域是(0,+∞).
(1)求函数f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值;
(2)∀x∈(0,+∞),不等式xf(x)>-x2+λx-1恒成立,求实数λ的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)设不等式f(x)>ax的解集为P,且{x|0≤x≤2}⊆P,求实数a的取值范围;
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已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x3+mx2-nx(m,n为实数).
(1)若x=1是函数y=g(x)的一个极值点,求m与n的关系式;
(2)在(1)的条件下,求函数g(x)的单调递增区间;
(3)若关于x的不等式2f(x)≤g"(x)+1+n的解集为P,且(0,+∞)⊆P,求实数m的取值范围.
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若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N,则M-N的值为(  )
A.2B.4C.18D.20
题型:不详难度:| 查看答案
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