定义在（0，+∞）上的函数f(x)=px1p-x(p∈Q，且p＞1)．（1）求函数f（x）的最大值；（2）对于任意正实数a、b，设1p+1q=1，证明：ab≥a - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

定义在（0，+∞）上的函数f(x)=px

-x(p∈Q，且p＞1)．
（1）求函数f（x）的最大值；（2）对于任意正实数a、b，设

=1，证明：ab≥

．

答案

（1）f′(x)=x

-1-1．∵

-1＜0，∴由f"（x）=0，得x=1．
当x变化时，f"（x）、f（x）的变化如下表：

核心考点

试题【定义在（0，+∞）上的函数f(x)=px1p-x(p∈Q，且p＞1)．（1）求函数f（x）的最大值；（2）对于任意正实数a、b，设1p+1q=1，证明：ab≥a】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

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（0，1）

（1，+∞）

f"（x）

f（x）

↗

极大

↘

如果函数f(x)=

x3-a2x满足：对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，则a的取值范围是（　　）

A．[-

，

]

B．(-

，

)

C．[-

，0)∪(0，

]

D．(-

，0)∪(0，

)

已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量

、

满足

x2+1)•

-[ln(2+3x)-y]•

，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[

，

]，a＞ln

，证明：不等式|a-lnx|＞ln[f′（x）-3x]成立；
（3）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

已知函数f（x）=e^x-ex
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对于函数h（x）=

x²与g（x）=elnx，是否存在公共切线y=kx+b（常数k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函数h（x），g（x）各自定义域上恒成立？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=e^x-x （e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|

≤x≤2}且M∩P≠∅，求实数a的取值范围；（3）已知n∈N﹡，且S_n=∫_tⁿ[f（x）+x]dx（t为常数，t≥0），是否存在等比数列{b_n}，使得b₁+b₂+…b_n=S_n；若存在，请求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

设函数f(x)=1nx+

x-2

+ax(a≥0)
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)在(0，1]上的最大值为

，求a的值．