已知函数f(x)=x3+ax2+2(a∈R)且曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0. 求:(Ⅰ)a的值; (Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值. |
(Ⅰ)∵f"(x)=3x2+2ax,而曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0 ∴f"(2)=0…(4分) ∴3×4+4a=0∴a=-3…(6分) (Ⅱ)f(x)=x3-3x2+2,f"(x)=3x2-6x 令f"(x)=0得x1=0,x2=2…(9分) 当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表
x | -1 | (-1,0) | 0 | (0,2) | 2 | (2,3) | 3 | f"(x) | | + | 0 | - | 0 | + | | f(x) | -2 | ↗ | 2 | ↘ | -2 | ↗ | 2 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3+ax2+2(a∈R)且曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0.求:(Ⅰ)a的值;(Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和】;主要考察你对 函数极值与最值等知识点的理解。 [详细]
举一反三
已知函数f(x)=x2+2x+a•lnx. (1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围; (2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围. | 若实数a,b,c,d满足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( ) | 已知函数f(x)=px--2lnx. (Ⅰ)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围; (Ⅲ)设函数g(x)=,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围. | 已知函数f(x)=x3-ax2+(a>0) (1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间; (II)求证:曲线y=f(x)总有斜率为a的切线; (III)若存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,求a的取值范围. | 已知f(x)=x2-2x+3,在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是______. |
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