当前位置:高中试题 > 数学试题 > 函数极值与最值 > 已知函数F(x)=-x4+ax3+x2+b,(a,b为常数),(1)当a=1时,F(x)=0有两个不相等的实根,求b的取值范围;(2)若F(x)有三个不同的极值...
题目
题型:湖北省模拟题难度:来源:
已知函数F(x)=-x4+ax3+x2+b,(a,b为常数),
(1)当a=1时,F(x)=0有两个不相等的实根,求b的取值范围;
(2)若F(x)有三个不同的极值点0、x1、x2,a为何值时,能使函数F(x)在x1(或x2)处取得的极值为b?
(3)若对任意的a∈[-1,0],不等式F(x)≥-8在[-2,2]上恒成立,求b的取值范围.
答案
解:(1)当a=1时,


令g′(x)=0,得x=-1,0,4,
当x变化时,g′(x)、g(x)的变化情况如下表:

由已知,知直线y=b与y=g(x)的图象有且只有两个公共点,所以或b>0,
∴b的取值范围为
(2)
的两个不相等的非零实根,
,且,(*)
不妨设

,①,
又∵,②
①+②,得,即,③
代入②,得x12-2ax1=0,
∵x1≠0,∴x1=2a,
代入③,得
∴a=-2或,经检验,a=-2或都满足(*),
故a=-2或
(3)当a∈[-1,0]时,可知
恒成立,
∴x>0时,f′(x)<0;x<0时,f′(x)>0,
∴F(x)在(-∞,0)内递增,在(0,+∞)内递减,
∴F(x)在[-2,2]上的最小值min{F(-2),F(2)}=2a2+18a-8+b≥-8恒成立,

当a=-1时,-2a2-18a取最大值16,
所以b的取值范围为[16,+∞).
核心考点
试题【已知函数F(x)=-x4+ax3+x2+b,(a,b为常数),(1)当a=1时,F(x)=0有两个不相等的实根,求b的取值范围;(2)若F(x)有三个不同的极值】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=x3+(4-a)x2-15x+a,a∈R。
(1)若点P(0,-2)在函数f(x)的图象上,求a的值和函数f(x)的极小值;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,求a的最大值。
题型:四川省模拟题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=m+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+an+1xn+1,n∈N*。
(1)若f(x)=m+x2+x3
①求以曲线y= f(x)上的点P(1,f(1))为切点的切线的斜率;
②若函数f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且点(x1,f(x1))在第二象限,点(x2,f(x2))位于y轴负半轴上,求m的取值范围。
(2)当an=时,设函数f(x)的导函数为f"(x),令Tn=,证明:Tn≤f"(1)-1。
题型:四川省模拟题难度:| 查看答案
设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值,
(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-2,m+2]上单调递增,求实数m的取值范围; (3)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0,证明:函数g(x)=f(x)-x2+t1x在区间(t1,t2)内最多有一个零点.
题型:模拟题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3
(1)设a=1,求函数f(x)的极值;
(2)若a>,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围。
题型:同步题难度:| 查看答案
函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点的个数是[     ]
A.2
B.1
C.0
D.由a确定
题型:同步题难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.