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题目
题型:同步题难度:来源:
已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3
(1)设a=1,求函数f(x)的极值;
(2)若a>,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围。
答案
解:(1)当a=1时,对函数f(x)求导数,得f′(x)=3x2-6x-9
令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3
列表讨论f(x),f′(x)的变化情况:
 
所以,f(x)的极大值是f(-1)=6,极小值是f(3)=-26。
(2)f′(x)=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的抛物线,关于x=a对称
<a≤1,则f′(x)在[1,4a]上是增函数,
从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)=3-6a-9a2
最大值是f′(4a)=15a2
由|f′(x)|≤12a,得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a,
于是有f′(1)=3-6a-9a2≥-12a,且f′(4a)=15a2≤12a
由f′(1)≥-12a,得-≤a≤1,
由f′(4a)≤12a,得0≤a≤
所以a∈
即a∈
若a>1,则|f′(a)|=12a2>12a
故当x∈[1,4a]时|f′(x)|≤12a不恒成立
所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3。(1)设a=1,求函数f(x)的极值;(2)若a>,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点的个数是[     ]
A.2
B.1
C.0
D.由a确定
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若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-
(1)求函数的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则f(2)=(    )。
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若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于[     ]
A.2
B.3
C.6
D.9
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如图,已知△ABC的面积为2,D、E分别为边AB、边AC 上的点,F为线段DE上一点,设,且y+z-x=1,则△BDF面积的最大值为  [     ]
A.
B.
C.
D.
题型:北京高考真题难度:| 查看答案
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