题目
题型:四川省模拟题难度:来源:
(1)若f(x)=m+x2+x3。
①求以曲线y= f(x)上的点P(1,f(1))为切点的切线的斜率;
②若函数f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且点(x1,f(x1))在第二象限,点(x2,f(x2))位于y轴负半轴上,求m的取值范围。
(2)当an=时,设函数f(x)的导函数为f"(x),令Tn=,证明:Tn≤f"(1)-1。
答案
①曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线的斜率k=f"(1)=2;
②f"(x)=x+x2=x(x+1)
由f"(x)<0,得-1<x<
由f"(x)>0得x<-1或x>0
由题意,
即
解得
故m的取值范围为。
(2)∵
∴
∴
∴
要证Tn≤f"(1) -1,其中n∈N*
即证
当n=1时,T1=1,f"(1)-1=1,
此时,Tn=f"(1)-1成立,
当n=2时,
不等式Tn<f"(1)-1成立
当n≥3时,
而
∵
∴
∴当n≥3时,
即
∴当n≥3时,不等式也成立,
综上所述,对任意的n∈N*,不等式Tn≤f"(1)-1成立。
核心考点
试题【已知函数f(x)=m+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+an+1xn+1,n∈N*。(1)若f(x)=m+x2+x3。①求以曲线y= f(x)上的点P(】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-2,m+2]上单调递增,求实数m的取值范围; (3)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0,证明:函数g(x)=f(x)-x2+t1x在区间(t1,t2)内最多有一个零点.
(1)设a=1,求函数f(x)的极值;
(2)若a>,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围。
(1)求函数的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.
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