题目
题型:四川省模拟题难度:来源:
(1)求实数a的值;
(2)当x∈[,e](其中e是自然对数的底数)时,证明:e(e-x)(e+x-6)+4≥x4;
(3)证明:对任意的n>1,n∈N*,不等式恒成立。
答案
解:(1)由题知f′(x)=x+a+的一个根为1,
∴f′(1)=0,
∴1+a+2=0,即a=-3;
(2),
∴,
由f′(x)=,解得x>2或0<x<1,
由f′(x)=,解得1<x<2,
,
∴函数f(x)的单调递增区间为、(2,e),单调递减区间为(1,2),
∴当时,f(x)的极大值为,
又,,
∴当时,,
∴,
即e2-6e+4≥x2-6x+4lnx,
即e2-x2+6x-6e+4≥41nx,
即(e-x)(e+x-6)+4≥4lnx,
即,
∴。
(3)由(2)可知,函数f(x)的单调递减区间为(1,2),单调递增区间为(2,+∞),
∴当x∈(1,+∞)时,函数f(x)在x=2处取得最小值2ln2-4,
∴,
即,
∴,
∴,
,
……
,
把上述各式相加,变形得:
,
即
,
∴对任意的n>1,n∈N*,不等式恒成立。
核心考点
试题【设函数f(x)=x2+ax+2lnx,a∈R,已知函数f(x)在x=1处有极值,(1)求实数a的值;(2)当x∈[,e](其中e是自然对数的底数)时,证明:e(】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3。
(1)设a=1,求函数f(x)的极值。
(2)若,且当时,|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)+t,是否存在实数t,使得曲线y=g(x)与x轴有两个交点,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。
(1)若a=1,求f(x)的极小值;
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为3。
A.f(x)的极大值为,极小值为
B.f(x)的极大值为,极小值为
C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
D.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
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