题目

题型：模拟题难度：来源：

已知f（x）=a^x﹣ln（﹣x），x∈（﹣e，0），，
其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=﹣1时，f（x）的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，．
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；
如果不存在，说明理由．

答案

解：（1）∵f（x）=﹣x﹣ln（﹣x）
∴当﹣e≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，此时f（x）为单调递减
当﹣1＜x＜0时，f"（x）＞0，此时f（x）为单调递增
∴f（x）的极小值为f（﹣1）=1
（2）∵f（x）的极小值，即f（x）在[﹣e，0）的最小值为1
∴|f（x）|_min=1
令
又∵
当﹣e≤x＜0时h′（x）≤0，h（x）在[﹣e，0）上单调递减∴
∴当x∈[﹣e，0）时，
（3）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣ln（﹣x）有最小值3，
x∈[﹣e，0）
①当时，由于x∈[﹣e，0），则
∴函数f（x）=ax﹣ln（﹣x）是[﹣e，0）上的增函数
∴f（x）_min=f（﹣e）=﹣ae﹣1=3
解得（舍去）
②当时，则当时，
此时f（x）=ax﹣ln（﹣x）是减函数
当时，，
此时f（x）=ax﹣ln（﹣x）是增函数
∴
解得a=﹣e²