题目

题型：同步题难度：来源：

已知函数f（x）=ax+bsinx，当时，f（x）取得极小值．
（1）求a，b的值；
（2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=f（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：
①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
②对任意x∈R都有g（x）≥f（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．试证明：直线l：y=x+2为曲线S：y=ax+bsinx“上夹线”．

答案

解：（1）∵f（x）=ax+bsinx，
∴f′（x）=a+bcosx，
而由已知得： ，
∴a=1，b=﹣2，此时f（x）=x﹣2sinx，
∴f′（x）=1﹣2cosx，
当x∈（0， ）时，f′（x）＜0，
当x∈（ ， ）时，f′（x）＞0，
∴当x= 时，f（x）取得极小值 ，
即a=1，b=﹣2符合题意；
（2）证明：由f′（x）=1﹣2cosx=1，得cosx=0，
当x=﹣ 时，cosx=0，
此时y₁=x+2=﹣ +2，y₂=x﹣2sinx=﹣ +2，
∴y₁=y₂，
∴（﹣ ，﹣ +2）是直线l与曲线S的切点；
当x= 时，cosx=0，
此时y₁=x+2= +2，y₂=x﹣2sinx= +2，
∴y₁=y₂，
∴（ ， +2）也是直线l与曲线S的切点；
∴直线l与曲线S相切且至少有两个切点，
对任意x∈R，g（x）﹣f（x）=（x+2）﹣（x﹣2sinx）=2+2sinx≥0
即g（x）≥f（x），
因此直线l：y=x+2为曲线S：y=x﹣2sinx“上夹线”．