题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=（x²+ax+1）e^x，g（x）=2x³-3x²+a+2，其中a＜0．
（Ⅰ）若a=-1，求f（x）的极大值；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，f（x）的最小值不小于g（x）的最大值，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）当a=-1时，f"（x）=[x²+（a+2）x+a+1]e^x=x（x+1）e^x，
令f"（x）=0，得x₁=-1，x₂=0，
当x∈（-∞，-1）∪（0，+∞）f^′（x）＞0；x∈（-1，0）时，f^′（x）＜0．
可得f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）上递增，在（-1，0）上递减，
所以f(x)极大值=f(-1)=

3

e

．
（Ⅱ）由g′（x）=6x²-6x=6x（x-1）＞0，得x＞1或x＜0．
可得g（x）在（-1，0）上递增，在（0，1）上递减，
所以g_max（x）=g（0）=a+2．              　
令f"（x）=0，得x₁=-1，x₂=-a-1．
①若-a-1≥1，即a≤-2时，f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
所以f（x）_min=f（1）=（a+2）e，由（a+2）e≥a+2，得a=-2；
②∵a＜0，∴-a-1＞-1．
若-a-1＜1，即a＞-2时，f（x）在区间（-1，-a-1）上递减，在区间（-a-1，1）上递增，
所以f(x)min=f(-a-1)=(a+2) e-a-1，
由（a+2）e^-a-1≥（a+2），得a≤-1，所以-2＜a≤-1． 
综上所述，实数a的取值范围为[-2，-1]．