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题目
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设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m≤2时,f(x)=
1
6
x3-
1
2
mx2+x
在(-1,2)上是“凸函数”.则f(x)在(-1,2)上(  )
A.既有极大值,也有极小值
B.既有极大值,也有最小值
C.有极大值,没有极小值
D.没有极大值,也没有极小值
答案
f′(x)=
1
2
x2-mx+1
,f″(x)=x-m<0对于x∈(-1,2)恒成立.
∴m>(x)max=2,又当m=2时也成立,有m≥2.而m≤2,∴m=2.
于是f′(x)=
1
2
x2-2x+1
,由f′(x)=0x=2-


2
或x=2+


2
(舍去),
f(x)(-1,2-


2
)上递增,在(2-


2
,2)上递减,
只有C正确.
故选C
核心考点
试题【设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数函数f(x)在】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数y=x-sinx,x∈[
π
2
,π]的最大值是 (  )
A.1B.2πC.πD.4
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曲线y=x2在点M(
1
2
1
4
)的切线的倾斜角的大小是(  )
A.30°B.45°C.60°D.90°
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曲线y=
1
3
x3-2在点(-1,-
7
3
)处切线的倾斜角为(  )
A.30°B.150°C.45°D.135°
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已知函数f(x)在R上满足f(x)=2x3-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是(  )
A.y=9x+8B.y=12x+11C.y=9x-8D.y=12x-11
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曲线y=x3+2在点P(1,3)处的切线与y轴交点的纵坐标是(  )
A.-1B.-2C.0D.5
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