题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x³-3x
（Ⅰ）求曲线在x=2处的切线方程；
（Ⅱ）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

答案

（Ⅰ）由题意得，f（2）=8-6=2，且f′（x）=3x²-3，
∴在x=2处的切线斜率k=f′（2）=3×4-3=9，
∴在x=2处的切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0．
（II）∵f（x）=x³-3x，∴设切点为Q（x₀，x03-3x0），
则所求切线方程为：y-（x03-3x0）=（3x₀²-3）（x-x₀）①，
∵切线过点P（2，-6），∴-6-（x03-3x0）=（3x₀²-3）（2-x₀），
解得x₀=0或x₀=3，代入①化简得y=-3x或y+6=24（x-2），
∴切线方程为3x+y=0或24x-y-54=0．