题目

题型：不详难度：来源：

函数f（x）=x³+3ax²+3bx+2在x=2处取得极值，其图象在x=1处的切线与直线x-3y+5=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈(-∞，

3

]时，xf′（x）≤m-6x²+9x恒成立，求m的取值范围．

答案

（1）f"（x）=3（x²+2ax+b）
由题意得

4+4a+b=0 3(1+2a+b)=-3

，解得a=-1，b=0
（2）当x∈(-∞，

3

]时，xf"（x）≤m-6x²+9x恒成立⇔当x∈(-∞，

3

]时，3x³-9x≤m恒成立
令g（x）=3x³-9x，则g"（x）=9（x+1）（x-1）g（x）在(-∞，-1)，(1，

3

)是增函数，（-1，1）是减函数
而g(

3

)=0，g(-1)=6，所以当x∈(-∞，

3

]时，g（x）_max=6
故m≥6